פרופ' יואל אנגל הוא מומחה בעל מוניטין עולמי בכל הנוגע לכירורגיה של היד ולכירורגיה אורתופדית. הוא משמש כרופא בכיר ביחידה לכירורגיית היד שבמרכז הרפואי שיבא יחידה אותה ייסד ואף ניהל בתחילת דרכה. ברשותו מרפאה פרטית ברמת-גן, בה הוא מקבל מטופלים ומבצע את כל סוגי הניתוחים של הגפה העליונה, למעט הכתף. הטיפול במרפאה ניתן הן באופן פרטי והן בהסדר עם חברות הביטוח וחלק מהביטוחים המשלימים של קופות החולים. כמו כן, הוא מספק חוות דעת רפואיות, במקרים של נזקי גוף לאחר תאונות, לבתי המשפט, למוסד לביטוח לאומי, לבתי דין לעבודה, למשרד הביטחון וכיוצא בזה.
פרופ' אנגל כיהן כיו''ר החוג לאורתופדיה של אוניברסיטת תל-אביב במשך שתי קדנציות, וכפרופ' מן המניין באוניברסיטה. בעבר שימש גם כפרופ' אורח באוניברסיטת קופנהגן שבדנמרק, באוניברסיטת סאו פאולו שבברזיל ובאוניברסיטת אריאל.
חיבר למעלה מ-150 מאמרים בנושא הכירורגיה של היד שפורסמו בכתבי עת מדעיים, והיה חבר מערכת במבחר עיתונים מדעיים.
פרופ' יואל אנגל החל את דרכו בעולם הרפואה בציריך שבשוויץ, שם השלים את לימודיו בבית הספר המקומי לרפואה. את התמחויותיו בכירורגיה של היד ערך בצרפת, בארצות הברית ובפינלנד. לאחר שנים של ניסיון מוכח בתחום, זכה פרופ' אנגל בפרס היוקרתי Pioneers In Hand Surgery מטעם האיגוד הבינלאומי לכירורגיה של היד (IFSSH) על תרומתו המשמעותית להתפתחות כירורגיית היד בעולם.
חברות באיגודים מקצועיים:
האיגוד הישראלי לכירורגיה של היד בעבר שימש גם כיו''ר
הפדרציה הבינלאומית לכירורגיה של היד
האיגוד האמריקאי לכירורגיה של היד
האיגוד הצרפתי לכירורגיה של היד
האיגוד הבריטי לכירורגיה של היד
האיגוד היפני לכירורגיה של היד
החברה הבינלאומית לאורתופדיה