פרופ' משיח הוא מבכירי רופאי הנשים בישראל, ושימש כמורם של רבים מהגינקולוגים הבכירים בארץ. ממייסדי הפקולטה לרפואה של אוניברסיטת תל-אביב ומוותיקי המורים למיילדות וגינקולוגיה. שימש ברוב הועדות החשובות של הפקולטה, כגון: ועדת הוראה וועדת מינויים. היה ראש החוג למיילדות וגינקולוגיה במשך שתי קדנציות. משמש כפרופסור מן המניין, חבר הסנט באוניברסיטת תל-אביב ומופקד הקתדרה לחקר מומים מולדים. חנך ולימד מאות של סטודנטים ומתמחים את מקצוע המיילדות והגינקולוגיה, רבים מתלמידיו נעשו מנהלי מחלקות ויחידות בארץ ובעולם ומנחילים את תורתו לתלמידיהם.
במשך למעלה מעשרים שנה ועד שנת 2002, היה פרופסור משיח מנהל האגף למיילדות וגינקולוגיה במרכז הרפואי שיבא בתל השומר. במשך שנים רבות כיהן כנשיא האגודה הישראלית לחקר הפריון ובשנים 1992-2000 נבחר לכהן כנשיא האיגוד הישראלי למיילדות וגינקולוגיה, בתפקידים ציבוריים אלו יישם הרבה מעקרונות הבסיס של האבחון והטיפול בתחומים הרבים של המיילדות, הגינקולוגיה והפוריות בישראל. שמש בוועדות רבות של משרד הבריאות, כגון יו"ר הוועדה להענקת רישיונות ליחידות להפריה חוץ גופית ובקרת פעילותן של היחידות הקיימות, וועדות מייעצות של שרי בריאות, חבר המועצה הלאומית למיילדות, פוריות וגנטיקה וחבר המועצה הלאומית לדמוגרפיה.
פרופ' משיח עשה את התמחותו במיילדות וגינקולוגיה באחת המחלקות הגדולות והחשובות בארץ-המחלקה שבמרכז הרפואי שיבא בתל השומר, בהנהלתם של פרופ' ארווין רבאו ופרופ' דיויד שר זיכרונם לברכה.
פרופ' משיח עלה במהירות בסולם הדרגות במחלקה ומונה בשנת 1982 למנהל המחלקה הגינקולוגית והמיילדותית במרכז הרפואי "שיבא"-תל השומר.
פרופ' משיח ניחן ביכולת לחזות את ההתקדמויות העתידיות החשובות של המקצוע וכך חזה את חשיבותה של הכירורגיה האנדוסקופית בכירורגיה הגינקולוגית. לשם כך נסע להשתלמות אצל אחד מגדולי הכירורגים הלפרוסקופים בעולם: פרו' קמרן נזאט מאוניברסיטת סטנפורד בארה"ב ועם שובו ארצה הכניס את שיטות הכירורגיה הזעיר פלשנית למחלקתו בתל השומר, ובכללן את השיטות לכירורגיה לפרוסקופית מתקדמת, כגון לשם כריתת שרירנים וכריתת רחם שלמה. הקים את הצוות המתקדם ביותר לכירורגיה היסטרוסקופית ולפרוסקופית בישראל (אחד מתלמידיו וממשיכי דרכו בתחום הוא פרופ' מוטי גולדנברג.) פרופ' משיח מאד גאה בעובדה, שבנו דר' רועי משיח, בחר במקצוע הכירורגיה הלפרוסקופית כתחום התעניינותו העיקרי, נסע להשתלמות בתחום מתפתח אצל פרופ' וואטיאז, גדול הכירורגים הלפרוסקופים באירופה והצטרף לאחרונה לצוות המנתחים של תל השומר בתחום זה (בראשותו של פרופ' גולדנברג).